Rentabilidade não antecipada e a Convexidade

Investimentos Financeiros

Rentabilidade não antecipada e a Convexidade

Quando usamos a Duração para estimar a variação no preço, estamos a calcular a variação que ocorreria no preço se a relação entre a taxa de juro e o preço fosse linear. Como essa relação é melhor definida por uma curva convexa teremos forçosamente que concluir que a Duração não é adequada para variações elevadas na taxa de juro, e por isso é necessário utilizar um termo de correcção e que frequentemente se designa por convexidade.

Rentabilidade não antecipada usando a convexidade
Ru = - D [ Acr(1+r) / (1+ r )] + C [ Acr (1+ r) / ( 1 + r ) ] ^2
Convexidade:
C = ½ [ å_t=1,^T { t ( t + 1 ) CFt / (1+r)^t } ] / Po

Caso prático

Dados:
Obrigação de cupão zero
Valor nominal: V = 1000
Maturidade: T = 10

Pretende-se:
_ Rentabilidade não antecipada: Ru = ?
_ Convexidade = ?
_Associadas a uma variação da taxa de juro de r = 10 % para r = 12 %.

Resolução:

Desde logo como a obrigação é de cupão zero => que D = T = 10

Calculemos então os preços da obrigação para cada uma das taxas de juro
P_r = V / ( 1+ r ) ^t
-» P_r=0,10 = 1000 / (1,10)^10 = 385,54
-» P_r=0,12 = 1000 / (1,12)^10 = 321,97
=> a Variação percentual do preço
Acr.P / P = 321,97 – 385,54 / 385,54 = 0,165
Acr. % (1+r) = r_0,12 – r_0,10 / r_0,10 = 1,12 – 1,10 / 1,10 = 0,018182

C = ½ [ å_t=1,^T { t ( t + 1 ) CFt / (1+r)^t } ] / Po =
= ½ [ (10 ´ 11 ´ 1000) / (1,1)^10 ] / 385,54 = 55,0005

Ru = - D [ Acr. (1+r) / (1+r) ] + C [ Acr.(1+r) / (1+r) ]^2 =
= -10 ´ 0,018182 + 55,0005 ´ ( 0,0181182 )^2 = 0,16376

Note-se que o erro de aproximação, que apesar de tudo se mantém, é muito mais pequeno do aquele que existia quando se utilizava a Duração sem a convexidade.