Investimentos Financeiros
Duração
É uma medida da sensibilidade do preço de uma obrigação em relação às variações na tx de juro.
Um conceito muito importante para melhor compreendermos a “duração” é a elasticidade, indica-nos, ( supondo que y = f(x) ), qual é a variação percentual em y, quando x aumenta de 1%.
A Duração (D) indica-nos o decréscimo percentual no preço de uma obrigação, quando (1+r) aumenta 1%, logo é o inverso da elasticidade do preço de uma obrigação em relação a ( 1 + r ):
¶ Po (1+r)
D = - ------------- ---------
¶ (1+ r) Po
Vamos então calcular a Duração (D) de uma obrigação de cupão zero com maturidade T e valor nominal V, no momento t = 0.
V
Po = ----------- = V (1+r)^ -T
(1+r)^T
¶ Po
----------- = -T V (1+r)^-T-1 = -T (1+r)^-1 V (1+r)^-T = -T Po (1+r)^-1
¶ (1+r )
¶ Po (1+r) - T Po (1+r)
------------ --------- = ------------- = ------------- = - T => D = - ( - T ) = T
¶ (1+r) Po (1+r) Po
ou seja –T é a elasticidade do preço relativamente à variação de 1 mais a taxa de juro. Se (1+r) aumentar 1% o preço da obrigação decresce T% => que para uma obrigação de cupão zero D = T
Conhecendo D e a variação percentual em (1+r) já se pode calcular a Rentabilidade não antecipada ( Ru – Rentability unexpected ).
Se – D nos indica a variação percentual em Po quando (1+r) varia 1%, => que se x variar x % => a variação percentual do preço será – D x.
¶ Po D (1+r)
Ru = ------------ = - D ----------------
Po (1 + r )
Duração de Macaulay
? Como calcular a duração de uma obrigação que oferece CF em vários momentos do tempo?
Caso mais simples
Yield Curve é plana :
As tx spot são as mesmas para todas as maturidades
Yield Curve tem um deslocamento paralelo:
As variações nas tx spot são iguais para todas as maturidades
CF1 CF2 CF_T
Po = --------- + ------------ + . . . + ------------- = å_t=1^T [CFt (1+r)^-t ]
1+ r (1+ r)^2 (1+ r )^T
com: r = tx spot Ù r = r_o,1 = r_o,2 = . . . = r_o,T
Se D(1+r) = 1% => Ñ % em Po ?
¶ Po
--------- = å_t=1,^T [ - t CFt (1+r)^-t-1 ] = - (1+r)^-1 å_t=1,^T [ t CFt (1+r)^-t ]
¶ (1+r)
.=> que a elasticidade do preço em relação a (1+r) :
¶ Po (1+r) å_t=1,^T [ t CFt (1+r)^-t ] (1+r) å_t=0, ^T [ t Po ]
---------- -------- = - ------------------------------------- ---------- = ----------------------
¶ (1+r) Po (1+r) Po Po
CF1 CF2 CF3
---------- -------- ---------
(1+r) (1+r)^2 (1+r)^T
ó D = ------------- . 1 + ----------- . 2 + . . . + ------------- . T ««---- D de Macaulay
Po Po Po
Podemos concluir que a duração de uma obrigação é uma média ponderada da maturidade de cada um dos seus pagamentos.
Ter em conta que:
_Maturidade: indica o momento em que é recebido o último pagamento.
_Duração diz-nos em média quanto tempo demora a receber o fluxo de CF`s prometidos pela obrigação.
=> se a obrigação pagar CF`s antes de T => D <>
Duração de Fisher-Weil
Admite que:
_Yield Curve é plana
_Yield Curve tem um deslocamento paralelo
Se considerarmos que as taxas spot podem variar com a maturidade ( a yield curve pode não ser plana), mas que as variações em termos percentuais das tx spot são todas iguais e calcularmos a elasticidade do preço relativamente a essa variação na yield curve obtemos a fórmula de Duração de Fisher-Weil.
Difere da D de Macaulay porque agora os CF`s de períodos diferentes são descontados usando taxas spot eventualmente diferentes.
D Fisher-Weil
CF1 CF2 CF3
---------- -------- ---------
(1+ro,1) (1+ro,2)^2 (1+ro,t)^T
ó D = ------------- . 1 + ----------- . 2 + . . . + ------------- . T ««---- D de Fisher-Weil
Po Po Po
Como é evidente se ro,1 = ro,2 = ... = ro,T => pode-se constatar que a D de Fisher-Weil = D de Macaulay, pois nesse caso a yield curve é plana o que torna a D de Macaulay válida
Link / video que fala mais ou menos a meio da entrevista de “Duração” e sua importância na análise dos investimentos financeiros
